南京市高考模拟卷,南京市高考模拟

南京市、盐城市2015届高三年级第二次模拟考试

数学参考答案

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1．p? 2．一3．－2 4．55 5．

6．? 7．③④ 8． 9．? 10．50?

11．(1，2) 12． 2? 13． 14．10000

15．（本小题满分14分）

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c．已知cosC＝．

（1）若×＝，求△ABC的面积；

（2）设向量x＝(2sin，)，y＝(cosB，cos)，且x∥y，求sin(B－A)的值．

解：（1）由·＝，得abcosC＝．

又因为cosC＝，所以ab＝＝．? …………………… 2分

又C为△ABC的内角，所以sinC＝． …………………… 4分

所以△ABC的面积S＝absinC＝3． …………………… 6分

（2）因为x//y，所以2sincos＝cosB，即sinB＝cosB． ………………… 8分

因为cosB≠0，所以tanB＝．

因为B为三角形的内角，所以B＝． ………………… 10分

所以A＋C＝，所以A＝－C． ?

所以sin(B－A)＝sin(－A)＝sin(C－)

＝sinC－cosC＝×－×

＝．? ………………… 14分

16．（本小题满分14分）

如图，在四棱锥P—ABCD中， AD＝CD＝AB， AB∥DC，AD⊥CD，PC⊥平面ABCD．

（1）求证：BC⊥平面PAC；

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

(第16题图)

?

?

?

?

?

?

P

?

?

?

?

?

?

A

?

?

?

?

?

?

B

?

?

?

?

?

?

C

?

?

?

?

?

?

D

?

?

?

?

?

?

M

?

?

（2）若M为线段PA的中点，且过C，D，M三点的平面与PB交于点N，求PN：PB的值．

证明：（1）连结AC．不妨设AD＝1．

因为AD＝CD＝AB，所以CD＝1，AB＝2．

因为?ADC＝90°，所以AC＝，?CAB＝45°．

在△ABC中，由余弦定理得BC＝，所以AC2＋BC2＝AB2．

所以BC^AC． ?…………………… 3分

因为PC^平面ABCD，BC?平面ABCD，所以BC^PC．? …………………… 5分

因为PC?平面PAC，AC?平面PAC，PC∩AC＝C，

所以BC^平面PAC．? …………………… 7分

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

(第16题图)

?

?

?

?

?

?

P

?

?

?

?

?

?

A

?

?

?

?

?

?

B

?

?

?

?

?

?

C

?

?

?

?

?

?

D

?

?

?

?

?

?

M

?

?

?

?

?

?

N

?

?

（2）如图，因为AB∥DC，CD?平面CDMN，AB?平面CDMN，

所以AB∥平面CDMN．? …………………… 9分

因为AB?平面PAB，

平面PAB∩平面CDMN＝MN，

所以AB∥MN． …………………… 12分

在△PAB中，因为M为线段PA的中点，

所以N为线段PB的中点，

即PN：PB的值为．? …………………… 14分

17．（本小题满分14分）

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

E

?

?

?

?

?

?

B

?

?

?

?

?

?

G

?

?

?

?

?

?

A

?

?

?

?

?

?

N

?

?

?

?

?

?

D

?

?

?

?

?

?

M

?

?

?

?

?

?

C

?

?

?

?

?

?

F

?

?

?

?

?

?

O

?

?

?

?

?

?

H

?

?

?

?

?

?

P

?

?

?

?

?

?

(第17题图)

?

?

右图为某仓库一侧墙面的示意图，其下部是一个矩形ABCD，上部是圆弧AB，该圆弧所在圆的圆心为O．为了调节仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH(其中E，F在圆弧AB上， G，H在弦AB上)．过O作OP^AB，交AB于M，交EF于N，交圆弧AB于P．已知OP＝10，MP＝6.5（单位：m），记通风窗EFGH的面积为S（单位：m2）．

（1）按下列要求建立函数关系式：

(i)设∠POF＝θ (rad)，将S表示成θ的函数；

(ii)设MN＝x (m)，将S表示成x的函数；

（2）试问通风窗的高度MN为多少时，通风窗EFGH的面积S最大？

解：（1）由题意知，OF＝OP＝10，MP＝6.5，故OM＝3.5．

(i)在Rt△ONF中，NF＝OFsinθ＝10sinθ，ON＝OFcosθ＝10cosθ．

在矩形EFGH中，EF＝2MF＝20sinθ，FG＝ON－OM＝10cosθ－3.5，

故S＝EF×FG＝20sinθ(10cosθ－3.5)＝10sinθ(20cosθ－7)．

即所求函数关系是S＝10sinθ(20cosθ－7)，0＜θ＜θ0，其中cosθ0＝．

(ii)因为MN＝x，OM＝3.5，所以ON＝x＋3.5．

在Rt△ONF中，NF＝＝＝．

在矩形EFGH中，EF＝2NF＝，FG＝MN＝x，

故S＝EF×FG＝x．

即所求函数关系是S＝x，0＜x＜6.5． ………… 8分

（2）方法一：选择(i)中的函数模型：

令f(θ)＝sinθ(20cosθ－7)，

则f ′(θ)＝cosθ(20cosθ－7)＋sinθ(－20sinθ)＝40cos2θ－7cosθ－20．…………10分

由f ′(θ)＝40cos2θ－7cosθ－20＝0，解得cosθ＝，或cosθ＝－．

因为0＜θ＜θ0，所以cosθ＞cosθ0，所以cosθ＝．

设cosα＝，且α为锐角，

则当θ∈(0，α)时，f ′(θ)＞0 ，f(θ)是增函数；当θ∈(α，θ0)时，f ′(θ)＜0 ，f(θ)是减函数，

所以当θ＝α，即cosθ＝时，f(θ)取到最大值，此时S有最大值．

即MN＝10cosθ－3.5＝4.5m时，通风窗的面积最大． …………14分

方法二：选择(ii)中的函数模型：

因为S＝ ，令f(x)＝x2(351－28x－4x2)，

则f ′(x)＝－2x(2x－9)(4x＋39)．? ……… 10分

因为当0＜x＜时 ，f ′(x)＞0，f(x)单调递增，当＜x＜时，f ′(x)＜0，f(x)单调递减，

所以当x＝时，f(x)取到最大值，此时S有最大值．

?即MN＝x＝4.5m时，通风窗的面积最大．? …………14分

18．（本小题满分16分）

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

x

?

?

?

?

?

?

y

?

?

?

?

?

?

A

?

?

?

?

?

?

O

?

?

?

?

?

?

B

?

?

?

?

?

?

C

?

?

?

?

?

?

D

?

?

?

?

?

?

M

?

?

?

?

?

?

N

?

?

?

?

?

?

?

(第18题图)

?

?

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0) 的离心率为，直线l：y＝x与椭圆E相交于A，B两点，AB＝2．C，D是椭圆E上异于A，B的任意两点，且直线AC，BD相交于点M，直线AD，BC相交于点N．

（1）求a，b的值；

（2）求证：直线MN的斜率为定值．

解：（1）因为e＝＝，所以c2＝a2，即a2－b2＝a2，所以a2＝2b2．……2分

故椭圆方程为＋＝1．

由题意，不妨设点A在第一象限，点B在第三象限．

由解得A(b，b)．

又AB＝2，所以OA＝，即b2＋b2＝5，解得b2＝3．

故a＝，b＝．? ……………… 5分

（2）方法一：由（1）知，椭圆E的方程为 ＋＝1，从而A(2，1)，B(－2，－1)．

①当CA，CB，DA，DB斜率都存在时，设直线CA，DA的斜率分别为k1，k2，C(x0，y0)，

显然k1≠k2．

从而k1 ·kCB＝·＝＝＝＝－．?

所以kCB＝－． …………………… 8分

同理kDB＝－．

于是直线AD的方程为y－1＝k2(x－2)，直线BC的方程为y＋1＝－(x＋2)．

由解得

从而点N的坐标为(，)．

用k2代k1，k1代k2得点M的坐标为(，)．

………… 11分

所以kMN＝ ＝＝－1．

即直线MN的斜率为定值－1．? ………14分

②当CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时，

根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，

故不妨设直线CA的斜率不存在，从而C(2，－1)．

仍然设DA的斜率为k2，由①知kDB＝－．

此时CA：x＝2，DB：y＋1＝－(x＋2)，它们交点M(2，－1－)．

BC：y＝－1，AD：y－1＝k2(x－2)，它们交点N(2－，－1)，

从而kMN＝－1也成立．

由①②可知，直线MN的斜率为定值－1． …………16分

方法二：由（1）知，椭圆E的方程为 ＋＝1，从而A(2，1)，B(－2，－1)．

①当CA，CB，DA，DB斜率都存在时，设直线CA，DA的斜率分别为k1，k2．

显然k1≠k2．

直线AC的方程y－1＝k1(x－2)，即y＝k1x＋(1－2k1)．

由得(1＋2k12)x2＋4k1(1－2k1)x＋2(4k12－4k1－2)＝0．

设点C的坐标为(x1，y1)，则2·x1＝，从而x1＝．

所以C(，)．

又B(－2，－1)，

所以kBC＝＝－．? ……………… 8分

所以直线BC的方程为y＋1＝－(x＋2)．

又直线AD的方程为y－1＝k2(x－2)．

由解得

从而点N的坐标为(，)．

用k2代k1，k1代k2得点M的坐标为(，)．

……… 11分

所以kMN＝ ＝＝－1．

即直线MN的斜率为定值－1．? ………………14分

②当CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时，

根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，

故不妨设直线CA的斜率不存在，从而C(2，－1)．

仍然设DA的斜率为k2，则由①知kDB＝－．

此时CA：x＝2，DB：y＋1＝－(x＋2)，它们交点M(2，－1－)．

BC：y＝－1，AD：y－1＝k2(x－2)，它们交点N(2－，－1)，

从而kMN＝－1也成立．

由①②可知，直线MN的斜率为定值－1．? ………………16分

19．（本小题满分16分）

已知函数f(x)＝1＋lnx－，其中k为常数．

（1）若k＝0，求曲线y＝f(x)在点 (1，f(1))处的切线方程；

（2）若k＝5，求证：f(x)有且仅有两个零点；

（3）若k为整数，且当x＞2时，f(x)＞0恒成立，求k的最大值．

（参考数据ln8＝2.08，ln9＝2.20，ln10＝2.30）

解：（1）当k＝0时，f(x)＝1＋lnx．

因为f ?(x)＝，从而f ?(1)＝1．

又f (1)＝1，

所以曲线y＝f(x)在点 (1，f(1))处的切线方程y－1＝x－1，

即x－y＝0．? ………3分

（2）当k＝5时，f(x)＝lnx＋－4．

因为f ?(x)＝，从而

当x∈(0，10)，f ′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(10，＋∞)时，f ′(x)＞0，f(x)单调递增．

所以当x＝10时，f(x)有极小值． ……………… 5分

因f(10)＝ln10－3＜0，f(1)＝6＞0，所以f(x)在(1，10)之间有一个零点．

因为f(e4)＝4＋－4＞0，所以f(x)在(10，e4)之间有一个零点．

从而f(x)有两个不同的零点．? …………… 8分

（3）方法一：由题意知，1+lnx－＞0对x∈(2，＋∞)恒成立，

即k＜对x∈(2，＋∞)恒成立．

令h(x)＝，则h?(x)＝．

设v(x)＝x－2lnx－4，则v?(x)＝．

当x∈(2，＋∞)时，v?(x)＞0，所以v(x)在(2，＋∞)为增函数．

因为v(8)＝8－2ln8－4＝4－2ln8＜0，v(9)＝5－2ln9＞0，

所以存在x0∈(8，9)，v(x0)＝0，即x0－2lnx0－4＝0．

当x∈(2，x0)时，h?(x)＜0，h(x)单调递减，当x∈(x0，＋∞)时，h?(x)＞0，h(x)单调递增．

所以当x＝x0时，h(x)的最小值h(x0)＝．

因为lnx0＝，所以h(x0)＝∈(4，4.5)．?

故所求的整数k的最大值为4． …………… 16分

方法二：由题意知，1+lnx－＞0对x∈(2，＋∞)恒成立．

f(x)＝1+lnx－，f ?(x)＝．

①当2k≤2，即k≤1时，f?(x)＞0对x∈(2，＋∞)恒成立，

所以f(x)在(2，＋∞)上单调递增．

而f(2)＝1＋ln2＞0成立，所以满足要求．

②当2k＞2，即k＞1时，

当x∈(2，2k)时，f ′(x)＜0， f(x)单调递减，当x∈(2k，＋∞)，f ′(x)＞0，f(x)单调递增．

所以当x＝2k时，f(x)有最小值f(2k)＝2＋ln2k－k．

从而f(x)＞0在x∈(2，＋∞)恒成立，等价于2＋ln2k－k＞0．

令g(k)＝2＋ln2k－k，则g?(k)＝＜0，从而g(k) 在(1，＋∞)为减函数．

因为g(4)＝ln8－2＞0，g(5)＝ln10－3＜0 ，

所以使2＋ln2k－k＜0成立的最大正整数k＝4．

综合①②，知所求的整数k的最大值为4．? ……… 16分

20．（本小题满分16分）

给定一个数列{an}，在这个数列里，任取m(m≥3，m∈N*)项，并且不改变它们在数列{an}中的先后次序，得到的数列称为数列{an}的一个m阶子数列．

已知数列{an}的通项公式为an＝ (n∈N*，a为常数)，等差数列a2，a3，a6是数列{an}的一个3阶子数列．

（2）等差数列b1，b2，…，bm是{an}的一个m (m≥3，m∈N*) 阶子数列，且b1＝ (k为常数，

k∈N*，k≥2)，求证：m≤k＋1；

求证：c1＋c2＋…＋cm≤2－．

解：（1）因为a2，a3，a6成等差数列，所以a2－a3＝a3－a6．

又因为a2＝，a3＝， a6＝，

代入得－＝－，解得a＝0． ……………3分

（2）设等差数列b1，b2，…，bm的公差为d．

因为b1＝，所以b2≤，

从而d＝b2－b1≤ －＝－． ?………………6分

所以bm＝b1＋(m－1)d≤－．

又因为bm＞0，所以－＞0．

即m－1＜k＋1．

所以m＜k＋2．

又因为m，k∈N*，所以m≤k＋1． …………… 9分

（3）设c1＝ (t∈N*)，等比数列c1，c2，…，cm的公比为q．

因为c2≤，所以q＝≤．?

从而cn＝c1qn－1≤（1≤n≤m，n∈N*）．?

所以c1＋c2＋…＋cm≤＋＋＋…＋

＝[1－]

＝－．? ………… 13分

设函数f(x)＝x－，（m≥3，m∈N*）．

当x∈(0，＋∞)时，函数f(x)＝x－为单调增函数．

因为当t∈N*，所以1＜≤2． 所以f()≤2－．

即 c1＋c2＋…＋cm≤2－． ……… 16分

南京市、盐城市2015届高三年级第二次模拟考试

数学附加题参考答案

A．选修4—1：几何证明选讲

?

?

B

?

?

?

?

?

?

A

?

?

?

?

?

?

D

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

E

?

?

?

?

?

?

C

?

?

?

?

?

?

?

?

F

?

?

?

?

?

?

（第21A题图）

?

?

如图，过点A的圆与BC切于点D，且与AB、AC分别交于点E、F．已知AD为∠BAC的平分线，求证：EF∥BC．

证明：如图，连接ED．

?

?

B

?

?

?

?

?

?

A

?

?

?

?

?

?

D

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

E

?

?

?

?

?

?

C

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

F

?

?

?

?

?

?

（第21A题图）

?

?

因为圆与BC切于D，所以∠BDE＝∠BAD．…………………… 4分

因为AD平分∠BAC，

所以∠BAD＝∠DAC．

又∠DAC＝∠DEF，所以∠BDE＝∠DEF．

所以EF∥BC． …………………… 10分

B．选修4－2：矩阵与变换

已知矩阵A＝， A的逆矩阵A－1＝ ．

（1）求a，b的值；

（2）求A的特征值．

解：（1）因为A A－1＝ ＝＝．

所以

解得a＝1，b＝－．? …………………… 5分

（2）由（1）得A＝，

则A的特征多项式f(λ)＝＝(λ－3)( λ－1)．

令f(λ)＝0，解得A的特征值λ1＝1，λ2＝3． ………………… 10分

C．选修4－4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：(s为参数），直线l：（t为参数）．设C与l交于A，B两点，求线段AB的长度．

解：由消去s得曲线C的普通方程为y＝x2；

由消去t得直线l的普通方程为y＝3x－2．…………… 5分

联立直线方程与曲线C的方程，即

解得交点的坐标分别为(1，1)，(2，4)．

所以线段AB的长度为＝．?…………… 10分

D．选修4－5：不等式选讲

已知x，y，z都是正数，且xyz＝1，求证：(1＋x)( 1＋y)( 1＋z)≥8．

证明：因为x为正数，所以1＋x≥2．

同理 1＋y≥2，

1＋z≥2．

22．（本小题满分10分）

甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是．假设各局比赛结果相互独立．

（1）分别求甲队以3∶0，3∶1，3∶2获胜的概率；

（2）若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分、对方得1分．求甲队得分X的分布列及数学期望．?

解：（1）记甲队以3∶0，3∶1，3∶2获胜分别为事件A，B，C．

由题意得P(A)＝＝，

P(B)＝C··＝，

P(C)＝ C··＝． …………… 5分

（2）X的可能取值为0，1，2，3．

P(X＝3)＝P(A)＋P(B)＝；?P(X＝2)＝P(C)＝，

P(X＝1)＝C··＝，?P(X＝0)＝1－P(1≤X≤3)＝．?

所以X的分布列为：

?

?

X

?

?

?

0

?

?

?

1

?

?

?

2

?

?

?

3

?

?

?

P

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

从而E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝．

答：甲队以3∶0，3∶1，3∶2获胜的概率分别为，，．甲队得分X的数学期望为． …………………… 10分

23．（本小题满分10分）

已知m，n∈N*，定义fn(m)＝．

（1）记am＝f6(m)，求a1＋a2＋…＋a12的值；

（2）记bm＝(－1)mmfn(m)，求b1＋b2＋…＋b2n所有可能值的集合．

解：（1）由题意知，fn(m)＝

所以am＝ ………………… 2分

所以a1＋a2＋…＋a12＝C＋C＋…＋C＝63． ?………………… 4分

（2）当n＝1时， bm＝(－1)mmf1(m)＝则b1＋b2＝－1．………… 6分

当n≥2时，bm＝

又mC＝m·＝n·＝nC，

所以b1+b2＋…＋b2n＝n[－C＋C－C＋C＋…＋(－1)nC]＝0．

所以b1+b2＋…＋b2n的取值构成的集合为{－1，0}．? ………… 10分

2023南京市中考一模时间2月9日至10日。

一模考试的意思是高考前的第一次模拟考试。进入高三阶段，就进入了冲刺阶段，一般都会进行多次模拟考试。不同阶段的模拟考试的试题的难度系数是不同的；模拟考试的目的也是不同的；测试的手段和技巧也是不同的。

一模的作用主要有两个，一是诊断与发现，二是模拟与适应。一模后的主攻方向是补缺、提升与完善，其主要备考思路是：以考纲为依据，以考点训练为主线，以专题训练为主要练习方式，以提升重点题型解题技能和速度为主要目的，以规范训练为重要保障。

高三三次模拟考试的作用：

1、一模检验学习成果：

一模是整个复习过程后的一次检验考试，通过这次考试可以知道自己的复习效果，发现不足的地方还有时间去改正补充。一模的题普遍是非常难的，目的就是让学生发现自己的不足，然后不要懈怠，抓紧时间补齐自己的不足。

2、二模适应高考节奏：

最接近高考难度的是二模，一模考试后发现不足，改正不足，然后在进行一次模拟考试，而一般二模在高考前半个月进行，目的就是让考生提前适应考试节奏，从题型到涂答题卡都是严格按照高考去进行的，所以说二模的成绩是最接近高考成绩的，先后不差50分。

3、三模鼓舞学生气势：

三模是在高考的前一周进行，甚至有的学校都不会进行三模考试，一是怕成绩影响学生的高考状态，二是怕考试完后学生泄劲，所以说一般三模题目都非常简单，是最基础不过的题型。