高考圆锥曲线压轴题及答案_圆锥曲线高考压轴题

1.高考数学最难的压轴题解题技巧

2.圆锥曲线总结

3.如何解决高考压轴题？

4.高三了圆锥曲线的大题第二问有什么好方法么？

5.高考圆锥曲线

6.圆锥曲线的解题方法有哪些？

难。山东省教育厅发布，2011年数学理科高考题压轴题是一道圆锥曲线，硬算起来很麻烦，还要讨论斜率存在不存在，还要用仿射变换计算这道题，非常的难。山东省是中国华东地区的一个沿海省份，简称鲁，省会济南。

高考数学最难的压轴题解题技巧

圆锥曲线是解析几何中的重点，也是高中数学的重点之一，也是历年高考数学试题命制的热 点和重点；圆锥曲线试题特别是综合题在高考中常处于压轴题的位置，题型变化灵活，能考察学 生的能力立意和思维空间，是出活题，考能力的典范；由于向量、导数等新内容的充实，圆锥曲 线试题逐渐向多元化、交汇型发展，除了传统的求圆锥曲线方程，直线与圆锥曲线的位置关系外， 还增加开放性、探索性问题等；下面将对近年考题中的部分圆锥曲线题型进行分析探索。

一、圆锥曲线的考点和难点

圆锥曲线考查的范围很广，但其主要考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握， 还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热 点，也是同学们主要的难点；但我们会发现它就考查了学生对各种圆锥曲线定义，性质及综合知 识的的运用，比如在考卷的选择和填空中基本上都考查的是圆锥曲线的基本性质和定义，比如求 曲线的标准方程，离心率等，在后面解答题中通常第一问也考查标准方程等，主要是第二问考查 的范围就比较广了，比如与函数，不等式，三角形及面积最值等题型结合，难度就大大增加了。

二、对圆锥曲线的基础知识考查

（一）考查圆锥曲线的标准方程： 对这个知识点的考查一般不会很难，都较为基础，只要考生对标准方程公式及重

要定义熟悉，都教容易解得答案；例如 2010 年上海（理）第 3 题 例（2010 上海）动点 P 到点 F (2, 0) 的距离与它到直线 x ? 2 ? 0 的距离相等， 则 P 的轨迹方程为 解析： 本题考查抛物线定义及标准方程定义知 P 的轨迹是以 F (2, 0) 为焦点的 抛物线，p=2 所以其方程为 y2?8x. （二）考查圆锥曲线的离心率：

圆锥曲线总结

高考数学压轴题综合性比较强，一道题就会涉及很多的知识点，基本都是为那些学霸们准备的。但是，有时间就去试一试，能拿一分就多拿一分。下面是我整理的高考压轴题型以及压轴题的解题技巧。

1 高考数学最难的压轴题——立体几何

　立体几何题，证明题注意各种证明类型的方法（判定定理、性质定理），注意引辅助线，一般都是对角线、中点、成比例的点、等腰等边三角形中点等等，理科其实证明不出来直接用向量法也是可以的。计算题主要是体积，注意将字母换位（等体积法）；

　线面距离用等体积法。理科还有求二面角、线面角等，用建立空间坐标系的方法（向量法）比较简单，注意各个点的坐标的计算，不要算错。

1 高考数学最难的压轴题——圆锥曲线

　圆锥曲线题，第一问求曲线方程，注意方法（定义法、待定系数法、直接求轨迹法、反求法、参数方程法等等）。一定检查下第一问算的数对不，要不如果算错了第二问做出来了也白算了。

　第二问有直线与圆锥曲线相交时，记住“联立完事用联立”，第一步联立，根据韦达定理得出两根之和、两根之差、因一般都是交于两点，注意验证判别式>；0，设直线时注意讨论斜率是否存在。

　第二步也是最关键的就是用联立，关键是怎么用联立，即如何将题里的条件转化成你刚才联立完的x1+x2和x1x2，然后将结果代入即可，通常涉及的题型有弦长问题（代入弦长公式）、定比分点问题（根据比例关系建立三点坐标之间的一个关系式（横坐标或纵坐标），再根据根与系数的关系建立圆锥曲线上的两点坐标的两个关系式，从这三个关系式入手解决）、点对称问题（利用两点关于直线对称的两个条件，即这两点的连线与对称轴垂直和这两点的中点在对称轴上）、定点问题（直线y=kx+b过定点即找出k与b的关系。

1 高考数学最难的压轴题——导数

　高考导数压轴题考察的是一种综合能力，其考察内容方法远远高于课本，其涉及基本概念主要是：切线，单调性，非单调，极值，极值点，最值，恒成立，任意，存在等。

　1.一般题目中会有少量文字描述，所以就会涉及文字的简单翻译。

　2.题目中最核心的描述为各类式子：主要为普通类型：一般涉及三次函数，指对数，分式函数，绝对值函数，个别情况会涉及三角函数，特殊类型：主要含有x1,x2,f(x1),f(x2)类型。

　解题思路：文字翻译处理一般较简单，核心为式子运算变形处理，对于特定式子主要通过模板解决，重点是导数压轴题中一般式子运算变形处理策略，同时会涉及一些复杂拓展图形的认识和快速作图能力。

如何解决高考压轴题？

难点25 圆锥曲线综合题

圆锥曲线的综合问题包括：解析法的应用，与圆锥曲线有关的定值问题、最值问题、参数问题、应用题和探索性问题，圆锥曲线知识的纵向联系，圆锥曲线知识和三角、复数等代数知识的横向联系，解答这部分试题，需要较强的代数运算能力和图形认识能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算，推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整.

●难点磁场

(★★★★)若椭圆 =1(a＞b＞0)与直线l：x+y=1在第一象限内有两个不同的交点，求a、b所满足的条件，并画出点P(a,b)的存在区域.

●案例探究

〔例1〕已知圆k过定点A(a,0)(a＞0),圆心k在抛物线C：y2=2ax上运动，MN为圆k在y轴上截得的弦.

(1)试问MN的长是否随圆心k的运动而变化？

(2)当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项时，抛物线C的准线与圆k有怎样的位置关系？

命题意图：本题考查圆锥曲线科内综合的知识及学生综合、灵活处理问题的能力，属

★★★★★级题目.

知识依托：弦长公式，韦达定理，等差中项，绝对值不等式，一元二次不等式等知识.

错解分析：在判断d与R的关系时，x0的范围是学生容易忽略的.

技巧与方法：对第(2)问，需将目标转化为判断d=x0+ 与R= 的大小.

解：(1)设圆心k(x0,y0),且y02=2ax0,

圆k的半径R=|AK|=

∴|MN|=2 =2a(定值)

∴弦MN的长不随圆心k的运动而变化.

(2)设M(0,y1)、N(0,y2)在圆k：(x－x0)2+(y－y0)2=x02+a2中，

令x=0，得y2－2y0y+y02－a2=0

∴y1y2=y02－a2

∵|OA|是|OM|与|ON|的等差中项.

∴|OM|+|ON|=|y1|+|y2|=2|OA|=2a.

又|MN|=|y1－y2|=2a

∴|y1|+|y2|=|y1－y2|

∴y1y2≤0，因此y02－a2≤0,即2ax0－a2≤0.

∴0≤x0≤ .

圆心k到抛物线准线距离d=x0+ ≤a,而圆k半径R= ≥a.

且上两式不能同时取等号，故圆k必与准线相交.

〔例2〕如图，已知椭圆 =1(2≤m≤5),过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及其准线的交点从左到右的顺序为A、B、C、D，设f(m)=||AB|－|CD||

(1)求f(m)的解析式；

(2)求f(m)的最值.

命题意图：本题主要考查利用解析几何的知识建立函数关系式，并求其最值，体现了圆锥曲线与代数间的科间综合.属★★★★★级题目.

知识依托：直线与圆锥曲线的交点，韦达定理，根的判别式，利用单调性求函数的最值.

错解分析：在第(1)问中，要注意验证当2≤m≤5时，直线与椭圆恒有交点.

技巧与方法：第(1)问中，若注意到xA,xD为一对相反数，则可迅速将||AB|－|CD||化简.第(2)问，利用函数的单调性求最值是常用方法.

解：(1)设椭圆的半长轴、半短轴及半焦距依次为a、b、c，则a2=m,b2=m－1,c2=a2－b2=1

∴椭圆的焦点为F1(－1,0),F2(1,0).

故直线的方程为y=x+1,又椭圆的准线方程为x=± ,即x=±m.

∴A(－m,－m+1),D(m,m+1)

考虑方程组 ,消去y得：(m－1)x2+m(x+1)2=m(m－1)

整理得：(2m－1)x2+2mx+2m－m2=0

Δ=4m2－4(2m－1)(2m－m2)=8m(m－1)2

∵2≤m≤5,∴Δ＞0恒成立，xB+xC= .

又∵A、B、C、D都在直线y=x+1上

∴|AB|=|xB－xA|= =(xB－xA)． ,|CD|= (xD－xC)

∴||AB|－|CD||= |xB－xA+xD－xC|= |(xB+xC)－(xA+xD)|

又∵xA=－m,xD=m,∴xA+xD=0

∴||AB|－|CD||=|xB+xC|． =| |． = (2≤m≤5)

故f(m)= ，m∈〔2,5〕.

(2)由f(m)= ，可知f(m)=

又2－ ≤2－ ≤2－

∴f(m)∈〔 〕

故f(m)的最大值为 ，此时m=2;f(m)的最小值为 ，此时m=5.

〔例3〕舰A在舰B的正东6千米处，舰C在舰B的北偏西30°且与B相距4千米，它们准备捕海洋动物，某时刻A发现动物信号，4秒后B、C同时发现这种信号，A发射麻醉炮弹.设舰与动物均为静止的，动物信号的传播速度为1千米/秒，炮弹的速度是 千米/秒，其中g为重力加速度，若不计空气阻力与舰高，问舰A发弹的方位角和仰角应是多少？

命题意图：考查圆锥曲线在实际问题中的应用，及将实际问题转化成数学问题的能力，属★★★★★级题目.

知识依托：线段垂直平分线的性质，双曲线的定义，两点间的距离公式，斜抛运动的曲线方程.

错解分析：答好本题，除要准确地把握好点P的位置(既在线段BC的垂直平分线上，又在以A、B为焦点的抛物线上)，还应对方位角的概念掌握清楚.

技巧与方法：通过建立恰当的直角坐标系，将实际问题转化成解析几何问题来求解.对空间物体的定位，一般可利用声音传播的时间差来建立方程.

解：取AB所在直线为x轴，以AB的中点为原点，建立如图所示的直角坐标系.由题意可知，A、B、C舰的坐标为(3，0)、(－3，0)、(－5，2 ).

由于B、C同时发现动物信号，记动物所在位置为P，则|PB|=|PC|.于是P在线段BC的中垂线上，易求得其方程为 x－3y+7 =0.

又由A、B两舰发现动物信号的时间差为4秒，知|PB|－|PA|=4，故知P在双曲线 =1的右支上.

直线与双曲线的交点为(8，5 )，此即为动物P的位置，利用两点间距离公式，可得|PA|=10.

据已知两点的斜率公式，得kPA= ,所以直线PA的倾斜角为60°,于是舰A发弹的方位角应是北偏东30°.

设发弹的仰角是θ，初速度v0= ，则 ,

∴sin2θ= ,∴仰角θ=30°.

●锦囊妙计

解决圆锥曲线综合题，关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何性质，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，以达到巩固知识、提高能力的目的.

(1)对于求曲线方程中参数的取值范围问题，需构造参数满足的不等式，通过求不等式(组)求得参数的取值范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域.

(2)对于圆锥曲线的最值问题，解法常有两种：当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用数形结合法解；当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值.

●歼灭难点训练

一、选择题

1.(★★★★)已知A、B、C三点在曲线y= 上，其横坐标依次为1，m,4(1＜m＜4)，当△ABC的面积最大时，m等于( )

A.3 B. C. D.

2.(★★★★★)设u,v∈R，且|u|≤ ,v＞0,则(u－v)2+( )2的最小值为( )

A.4 B.2 C.8 D.2

二、填空题

3.(★★★★★)A是椭圆长轴的一个端点，O是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P，使

∠OPA= ,则椭圆离心率的范围是_________.

4.(★★★★)一辆卡车高3米，宽1.6米，欲通过抛物线形隧道，拱口宽恰好是抛物线的通径长，若拱口宽为a米，则能使卡车通过的a的最小整数值是_________.

5.(★★★★★)已知抛物线y=x2－1上一定点B(－1，0)和两个动点P、Q，当P在抛物线上运动时，BP⊥PQ，则Q点的横坐标的取值范围是_________.

三、解答题

6.(★★★★★)已知直线y=kx－1与双曲线x2－y2=1的左支交于A、B两点，若另一条直线l经过点P(－2，0)及线段AB的中点Q，求直线l在y轴上的截距b的取值范围.

7.(★★★★★)已知抛物线C：y2=4x.

(1)若椭圆左焦点及相应的准线与抛物线C的焦点F及准线l分别重合，试求椭圆短轴端点B与焦点F连线中点P的轨迹方程；

(2)若M(m,0)是x轴上的一定点，Q是(1)所求轨迹上任一点，试问|MQ|有无最小值？若有，求出其值；若没有，说明理由.

8.(★★★★★)如图， 为半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且OD⊥AB，Q为线段OD的中点，已知|AB|=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变.

(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；

(2)过D点的直线l与曲线C相交于不同的两点M、N，且M在D、N之间，设 =λ，求λ的取值范围.

〔学法指导〕怎样学好圆锥曲线

圆锥曲线将几何与代数进行了完美结合.借助纯代数的解决手段研究曲线的概念和性质及直线与圆锥曲线的位置关系，从数学家笛卡尔开创了坐标系那天就已经开始.

高考中它依然是重点，主客观题必不可少，易、中、难题皆有.为此需要我们做到：

1.重点掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义和性质.这些都是圆锥曲线的基石，高考中的题目都涉及到这些内容.

2.重视求曲线的方程或曲线的轨迹，此处作为高考解答题的命题对象难度较大.所以要掌握住一般方法：定义法、直接法、待定系数法、相关点法、参数法等.

3.加强直线与圆锥曲线的位置关系问题的复习.此处一直为高考的热点.这类问题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点、线段的中点、弦长、垂直问题，因此分析问题时利用数形结合思想和设而不求法与弦长公式及韦达定理联系去解决.这样加强了对数学各种能力的考查.

4.重视对数学思想、方法进行归纳提炼，达到优化解题思维、简化解题过程.

(1)方程思想

解析几何的题目大部分都以方程形式给定直线和圆锥曲线，因此把直线与圆锥曲线相交的弦长问题利用韦达定理进行整体处理，就简化解题运算量.

(2)用好函数思想方法

对于圆锥曲线上的一些动点，在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的量，从而使一些线的长度及a,b,c,e之间构成函数关系，函数思想在处理这类问题时就很有效.

(3)掌握坐标法

坐标法是解决有关圆锥曲线问题的基本方法.近几年都考查了坐标法，因此要加强坐标法的训练.

参考答案

难点磁场

解：由方程组 消去y,整理得(a2+b2)x2－2a2x+a2(1－b2)=0 ①

则椭圆与直线l在第一象限内有两个不同的交点的充要条件是方程①在区间(0，1）内有两相异实根，令f(x)=(a2+b2)x2－2a2x+a2(1－b2),则有

同时满足上述四个条件的点P(a,b)的存在区域为下图所示的阴影部分：

歼灭难点训练

一、1.解析：由题意知A(1，1)，B(m, ),C(4,2).

直线AC所在方程为x－3y+2=0,

点B到该直线的距离为d= .

∵m∈(1,4),∴当 时，S△ABC有最大值，此时m= .

答案：B

2.解析：考虑式子的几何意义，转化为求圆x2+y2=2上的点与双曲线xy=9上的点的距离的最小值.

答案：C

二、3.解析：设椭圆方程为 =1(a＞b＞0),以OA为直径的圆：x2－ax+y2=0,两式联立消y得 x2－ax+b2=0.即e2x2－ax+b2=0,该方程有一解x2,一解为a,由韦达定理x2= －a,0＜x2＜a，即0＜ －a＜a ＜e＜1.

答案： ＜e＜1

4.解析：由题意可设抛物线方程为x2=－ay,当x= 时，y=－ ；当x=0.8时，y=－ .由题意知 ≥3,即a2－12a－2.56≥0.解得a的最小整数为13.

答案：13

5.解析：设P(t,t2－1)，Q(s,s2－1)

∵BP⊥PQ,∴ =－1,

即t2+(s－1)t－s+1=0

∵t∈R,∴必须有Δ=(s－1)2+4(s－1)≥0.即s2+2s－3≥0,

解得s≤－3或s≥1.

答案：(－∞,－3 ∪ 1,+∞)

三、6.解：设A(x1,y1）,B(x2,y2).

由 ,得(1－k2）x2+2kx－2=0,

又∵直线AB与双曲线左支交于A、B两点，

故有

解得－ ＜k＜－1

7.解：由抛物线y2=4x,得焦点F(1,0),准线l：x=－1.

(1)设P(x,y)，则B(2x－1,2y),椭圆中心O′,则|FO′|∶|BF|=e,又设点B到l的距离为d,则|BF|∶d=e,∴|FO′|∶|BF|=|BF|∶d,即(2x－2)2+(2y)2=2x(2x－2),化简得P点轨迹方程为y2=x－1(x＞1).

(2)设Q(x,y),则|MQ|=

(ⅰ)当m－ ≤1,即m≤ 时，函数t=[x－(m－ )2]+m－ 在(1，+∞)上递增，故t无最小值，亦即|MQ|无最小值.

(ⅱ)当m－ ＞1,即m＞ 时，函数t=[x2－(m－ )2]+m－ 在x=m－ 处有最小值m－ ,∴|MQ|min= .

8.解：(1)以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，O为原点，建立平面直角坐标系，

∵|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2 ＞|AB|=4.

∴曲线C为以原点为中心，A、B为焦点的椭圆.

设其长半轴为a,短半轴为b,半焦距为c,则2a=2 ,∴a= ,c=2,b=1.

∴曲线C的方程为 +y2=1.

(2)设直线l的方程为y=kx+2,

代入 +y2=1,得(1+5k2)x2+20kx+15=0.

Δ=(20k)2－4×15(1+5k2)＞0,得k2＞ .由图可知 =λ

由韦达定理得

将x1=λx2代入得

两式相除得

①

M在D、N中间，∴λ＜1 ②

又∵当k不存在时，显然λ= (此时直线l与y轴重合).

高三了圆锥曲线的大题第二问有什么好方法么？

我说说我自己的想法吧。

高考数学压轴题，是整个试卷的精华部分 。命题人之所有要出压轴题，无非就是区分学生能力的，这样才能拉开分差。所以说，能拿下压轴题，基本上你的高考就拿下了。

特征：

1.综合性，突显数学思想方法的运用；

2.高观点性，与高等数学知识接轨；

3.交汇性，强调各个数学分支的交汇

应对策略：

1.抓好“双基”，注意第一问常常是后续解题的基础

2.要把数学思想方法贯穿于复习过程的始终

3.掌握一些“模型题”，由此出发易得解题突破口

你说你今年的压轴题是圆锥曲线或是不等式的运用，我就给你讲下这两种题型会怎样出现在压轴题中。

一圆锥曲线

圆锥曲线无非是大多数学生心中的梦魇，在高考中一般以高档题、压轴题出现，主要涉及直线与圆锥曲线的位置关系的判定、弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等相关综合问题，突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高。

在我看来，圆锥曲线解题的本质就是将题中的条件和提干中条件和图形中隐含的几何特征转换成灯饰或不等式，最后通过代数运算解决问题，而其中的关键是怎样转换或构造不等式。特别注意注意点差法的运用。

二不等式证明中的放缩法

不等式的证明是高中数学中的一个难点。它可以考察学生逻辑思维能力和解决问题的能力。正如你所说，放缩法出现的概率极大，若该题型出现在压轴题，此方法必考无疑。放缩法它可以和很多只是内容结合，对应变能力有较高的要求。因为放缩必须有目标，而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察，放缩是要注意适度，否则就不能同向传递。 这里有一些放缩法的题目，你看一下吧。

资料来源： style="font-size: 18px;font-weight: bold;border-left: 4px solid #a10d00;margin: 10px 0px 15px 0px;padding: 10px 0 10px 20px;background: #f1dada;">高考圆锥曲线

第二问是圆锥曲线的压轴题，它的难度一般很大是拉开分数的地方。但也能得到些分数，联立直线和圆锥曲线的方程，之后韦达定理写出，然后讨论判别式与零关系。可能题目里有些复杂几何关系和问法很奇怪，别扭你时间有限无法写出下一部，但接下来凭借你的理解再写下几部！有步骤分的。这个想快速都做出，只有平时多做题，多总结方法才能厚积薄发！本身有难度不用强求满分，祝你高考胜利

圆锥曲线的解题方法有哪些？

圆锥曲线定义的应用

规律与方法：

1、圆锥曲线的定义是相应标准方程和几何性质的“源”，对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略．

2、研究有关点间的距离的最值问题时，常用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为到另一焦点的距离或利用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为其到相应准线的距离，再利用数形结合的思想去解决有关的最值问题．

例1 若点M(2,1)，点C是椭圆x216＋y2

7

＝1的右焦点，点A是椭圆的动点，则|AM|＋|AC|的最

小值是________

跟踪训练1 已知椭圆x29＋y2

5＝1，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，点A(1,1)为椭圆内一点，

点P为椭圆上一点，求|PA|＋|PF1|的最大值．

2

题型二 有关圆锥曲线性质的问题

规律与方法

有关圆锥曲线的焦点、离心率、渐近线等问题是考试中常见的问题，只要掌握基本公式和概念，并且充分理解题意，大都可以顺利求解．

例2 已知椭圆x23m2＋y25n2＝1和双曲线x22m2－y2

3n2＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线

方程是

跟踪训练2 已知双曲线x2a2－y2b2＝1的离心率为2，焦点与椭圆x225＋y2

9＝1的焦点相同，那

么双曲线的焦点坐标为________；渐近线方程为________．

题型三 直线与圆锥曲线位置关系问题

规律与方法：

1．直线和圆锥曲线的位置关系可分为三类：无公共点、仅有一个公共点及有两个相异的公共点．其中，直线与圆锥曲线仅有一个公共点，对于椭圆，表示直线与其相切；对于双曲线，表示与其相切或直线与双曲线的渐近线平行；对于抛物线，表示与其相切或直线与其对称轴平行．

2．有关直线与圆锥曲线的位置关系的题目可能会涉及直线与圆锥曲线的关系中的弦长、焦点弦及弦中点问题、取值范围、最值等问题．

3．这类问题综合性强，分析这类问题，往往利用数形结合的思想和“设而不求”的方法、对称的方法及根与系数的关系等．

例3 已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1 (a>b>0)的离心率为6

3，短轴一个端点到右焦点的距离为3.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为3

2

，求△AOB面积的最大值．

3

跟踪训练3 已知向量a＝(x，3y)，b＝(1,0)且(a＋3b)⊥(a－3b)． (1)求点Q(x，y)的轨迹C的方程；

(2)设曲线C与直线y＝kx＋m相交于不同的两点M、N，又点A(0，－1)，当|AM|＝|AN|时，求实数m的取值范围

题型四 与圆锥曲线有关的轨迹问题

规律与方法：

轨迹是动点按一定规律运动而形成的，轨迹的条件可以用动点坐标表示出来．求轨迹方程的基本方法是

(1)直接法求轨迹方程：建立适当的直角坐标系，根据条件列出方程； (2)待定系数法求轨迹方程：根据曲线的标准方程； (3)定义法求轨迹方程：动点的轨迹满足圆锥曲线的定义；

(4)代入法求轨迹方程：动点M(x，y)取决于已知曲线C上的点(x0，y0)的坐标变化，根据两者关系，得到x，y，x0，y0的关系式，用x，y表示x0，y0，代入曲线C的方程． 例4 如图，已知线段AB＝4，动圆O1与线段AB切于点C，且AC－BC＝22，过点A、B分别作圆O1切线，两切线交于点P，且P、O1均在AB的同侧，求动点P的轨迹方程．

轨迹问题、中点弦问题、垂直类问题等等，不要怕算。知识结构

命题趋势分析

从近三年高考情况看，圆锥曲线的定义、方程和性质仍是高考考查的重点内容，三年平均占分20分，约为全卷分值的13.3%，在题型上一般安排选择、填空、解答各一道，分别考查三种不同的曲线，而直线与圆锥曲线的位置关系又是考查的重要方面。

例1 （2002年江苏卷理科第13题）椭圆 的一个焦点是（0，2），则k________________________________________。

分析 本题主要考查椭圆的标准方程，先将其化为标准形式，然后求解。

解 椭圆方程即 ∴ ，∴由 解得k=1。

点评 由焦点在y轴上，其标准方程应化为 的形式，若此题变化为：已知曲线 的焦距为4，则k_____________________________________。

则应分两种情况讨论：（1）若为椭圆，则k=1；（2）若为双曲线，方程即为

∴ ，由 ，由 ，得 。

例2 （2001年全国卷理科第14题）双曲线 的两个焦点为 ，点P在双曲线上，若 ，则点P到x轴的距离为_________________________________。

分析 本题主要考查双曲线的定义，从“形”的角度看，只需求出 斜边 上的高，可用第一定义求解；从“数”的角度看，只需求出点P的纵坐标 ，先利用第二定义即焦半径公式表示出 ， ，由勾股定理求出 ，再代入双曲线方程即可求出 的值；由于点P在以 为直径的圆上，因此，解决本题一个最基本的方法，则是利用交迹法求出点P。

解法一 设 ，且由双曲线的对称性不妨设点P在第一象限，则m―n=2a―6 ①， ②，

②－① 得2mn=64，∵mn=32，作PQ⊥x轴于Q，则在 中， ，即点P到x轴的距离为 ，

解法二 设 ，由第二定义可得 ， ，∵ ，

∴ ，

即 ，这里a=3 c=5 ，代入得 。

∴由双曲线方程得 ，∴ 。

解法三 设 ，∵

∴点P在以 为直径的圆上，即

①，又点P在双曲线上，

∴ ②，由①，②消去 ，得 ，∴ 。

点评 （1）由双曲线的对称性，可将点P设定在第一象限内，而不必考虑所有的情况。

（2）解题的目标意识很重要，例如在解法一中只需整体求出mn的值，而不必将m，n解出；在解法三中只需求 即可；

（3）在三种解法中，以解法三最简洁，因此，最基本的方法有时也是最有效的方法。

（4）如果将问题改为：当 为钝角时，点P的横坐标的取值范围是________________________________。

那么，可先求出使 时的点P的横坐标为 ，由图形直观及双曲线的范围可得 ，2000年高考理科第14题考查了椭圆中与此类似的问题。

例3 （2000年全国卷理科第11题）过抛物线 的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则 等于（ ）

A．2a B． C．4a D．

分析 此题主要考查抛物线的定义与标准方程，可利用焦半径公式来解决。

解 抛物线方程即 ，记 ，则F（0，m），而直线PQ的方程可设为x=k（y－m），代入抛物线方程 得

，

设 ，则

而 ，

于是， ，

。

故， 。

当k=0时，易证结论也成立，因而选C。

点评 （1）由于所给抛物线的焦点在y轴上，故其焦点是 ，焦半径公式是 ，而不能写成 。（2）解题中，令 以及将直线PQ的方程设为x=k（y－m），都是为了简化运算。（3）作为一道选择题，如此解法显然是不经济的，可以利用上节例5中的结论3直接得出结果，因此，记住一些重要结论，对提高解题效率无疑是有益的。（4）特例法也是解选择题的常用的解题方法，本题只需考虑PQ//x轴，即为通径的情况，可立即得出结果。

例4 （2001年全国卷理科第19题）设抛物线 的焦点F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC//x轴，证明直线AC经过坐标原点O。

分析 本小题主要考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能力，证明三点共线，只须证明OC、OA两直线的斜率相等，也可利用抛物线的性质证明AC与x轴的交点N恰为EF的中点，从而N与O重合，证得结论。

解法一 易知焦点 ，设直线AB的方程是 ，代入抛物线方程得

设 ，则

，即 。

因BC//x轴，且C在准线1上，故点 ，且 ，从而 ，从而

， ，

于是， ，从而A、O、C三点共线，即直线AC经过原点O。

解法二 如图，设准线1交x轴于点E，AD⊥1于D，连AC交EF于点N，由AD//EF//BC，

得 ，即 ，①

，即 ，②

又由抛物线的性质可知，|AD|=|AF|，|BC|=|BF|，代入①②可得|EN|=|NF|，即N为EF的中点，于是N与点O重合，即直线AC经过原点O。

点评 （1）本例解法一利用曲线的方程研究曲线的性质，充分体现了用坐标法研究几何问题的基本思想，而解法二则充分利用了抛物线的几何性质及相似三角形中的有关知识。（2）在解法一中，直线AB方程的设法值得推崇，从思路分析看，若证 ，即证 ，将 代入后即证 ，即证 ，为此应通过直线AB的方程及抛物线方程 联立消去x得到关于y的一元二次方程，解法一中的这一设法，既回避了直线方程的变形过程使运算简单，同时也回避了当AB⊥x轴的情况的讨论，若将AB方程设为 ，则必须对k不存在的情况作出说明。（3）试验修订本（必修）《数学》第二册（上） 习题8．6第6题是：过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q，经过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M，求证直线MQ平行于抛物线的对称轴，可见，这道高考题实际上是课本习题的一个逆命题，同学们在平时的学习中，对课本典型例题，习题要加强研究。

例5 （2002年江苏卷第20题）设A、B是双曲线 上的两点，点N（1，2）是线段AB的中点。

（1）求直线AB的方程；

（2）如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？

分析 本题主要考查直线、圆及双曲线的方程和性质，运算能力和综合运用所学知识解决问题的能力。求直线AB的方程，可以设出其点斜式，与双曲线方程联立消元，利用韦达定理及中点公式求出其斜率，由于涉及“中点弦”问题，亦可利用“设而不求”法解决。对于第（2）小题，根据图形特征，若四点共圆，则CD必为其直径，至少可有以下三种解题思路：（1）判断CD中点到四点是否等距；（2）判断是否有AC⊥AD；（3）判断A、B两点是否以CD为直径的圆上。

解 （1）解法一：设AB：y=k（x－1）+2代入 ，整理得

。①

设 ，则

，且

因N（1，2）是AB的中点，故 ，于是 ，解得k=1，从而所求直线AB的方程为y=x+1。

解法二：设 ，代入双曲线方程得

。

因N（1，2）为AB的中点，故 ， ，将它们代入上式可得 ，从而 ，于是直线AB的方程为y=x+1。

（2）将k=1代入方程①得， ，解得 ， 。

由y=x+1得， ， ，即A（－1，0），B（3，4），而直线CD的方程是y―1=―（x―2），即y=3－x，代入双曲线方程并整理得 ②

设 ，则 ， 。

解法一：设CD中点为 ，则 ，于是 ，即M（－3，6）。

因

故 。

又

即A．B．C．D四点与点M的距离相等，从而A、B、C、D四点共圆。

解法二：由 ， 得， ，

，故

，即AC⊥AD。

由对称性可知，BC⊥BD，于是A、B、C、D四点共圆。

解法三：以CD为直径的圆的方程是

，即

。

将 ， ， ， ，代入得

，即 。

因 ，

，

故A、B在以CD为直径的圆上，即A、B、C、D四点共圆。

点评 （1）处理直线与圆锥曲线相交问题时，要重视韦达定理的应用。（2）“设而不求”是解决“中点弦”问题常用的方法，通过“设而不求”可以建立弦所在直线的斜率与弦的中点坐标之间的关系，本题已知中点坐标，即可确定出直线的斜率。（3）判断四点共圆的方法很多，注意从多种不同的角度进行思考，锻炼思维的灵活性。

典型热点考题

1．探究

例6 设 分别是椭圆 的左、右焦点，试问：在椭圆上是否存在一点P，使得 ？为什么？

分析 根据点P满足的条件，探究是否能够将点P的坐标求出，若能，则存在；若不能，则不存在，求P点坐标，有以下两条思路：

思路一 设 ，用焦半径公式将 ， 用 表示，由 ，探求 是否存在。

思路二 由 知，点P在以 为直径的圆上，只须考察该圆与椭圆是否存在公共点。

思考：画一个较为准确的图形，不难发现，圆 与椭圆 没有公共点，所以这样的点P是不存在的，关键是这个椭圆太“圆”了，由此引发我们思考：为使点P存在，椭圆应尽量“扁”一些，也即其离心率应该较大，于是我们可以去思考一个一般性的问题：

一般化：若椭圆 上存在一点P，使得 ，求离心率e的取值范围。

利用例6提供的两个思路均可得到 ，从而验证了我们的猜想。

再思考：考察点P从长轴端点 始沿椭圆运动至 的过程， 由0°逐渐增大后又逐渐减小为0°，猜想在某一位置必然取得最大值，试问：这个最大值是多少？又在何处取得？从椭圆的对称性来看，我们可以猜想：当点P在短轴端点B处时， 取得最大值，是不是这样呢？

利用焦半径公式及余弦定理不难验证这一猜想是正确的。

若设 ，我们有 。

回头看，在例6中， ， ，代入可得 ，故0°≤θ≤60°，可见使θ=90°的点P是不存在的。

又一个问题：若椭圆 上存在一点P，使 （ 、 为长轴端点），求离心率e的取值范围。

分析 不再是椭圆的焦半径，按照例6中的思路一已经不能解决问题，但是我们知道，使 的点P是轨迹是关于 对称的两段圆弧，可先求出圆弧所在圆的方程，然后按照思路二进行研究，下面我们给出这一问题的解答。

解 由对称性，不妨设 ，则 ， ，由到角公式得

，即 ，

整理得， 。 ①

又 ，故 。 ②

②代入①得， 。

因点P在椭圆上，故 ，即 ，从而 ，即 ，也就是 ，从而 ，解得 ，又0<e<1，故 。

点评 （1）在解析几何中，直角一般由垂直条件来转化，而一般角则常用到角公式来转化，若想用余弦定理将无法运算进行到底。（2）注意利用椭圆的范围性，由 来建立a、b、c三者之间的不等式关系，从而求出e的范围。

2．应用。

例7 某隧道横断面由抛物线的一段和矩形的三边组成，尺寸如图，某卡车载一集装箱，箱宽3m，车与箱共高4m，试问：该车能否通过此隧道？为什么？

分析 此题为抛物线在实际问题中的应用，可利用抛物线的方程和性质进行研究。

解 以抛物线弧的顶点为原点，建立图示直角坐标系，设抛物线的方程为 ，从图示可以看出，点（3，－3）在抛物线上，故 ，得2p=3，即抛物线的方程是 。

由抛物线的对称性可知，为使此车尽量通过此隧道，车应沿隧道中线行驶，令 代入 得 ，所以集装箱两侧隧道的高度是 。

因为车与箱共高仅4米，即h>4，所以此车能通过此隧道。

点评 （1）实际问题应转化为数学问题来处理，此处通过建立坐标系转化为解析几何中的问题。（2）建系应恰当，尽量使方程为标准方程，分析问题时注意考虑图形的对称性。